Постановка задачи.
	Орел выпадает с вероятностью P, решка - Q. Если игрок проигрывает партию, он удваивает ставку; ограничений на банк и величину ставки нет. Найти матожидание (количество выигранных/проигранных денег в ОДНОЙ партии) при выбранной стратегии игры.

Решение.
	Рассмотрим ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ возможных исходов после N-го шага - D{N} при условии, что первоначальная ставка равнялась единице. Пусть S[N] - ожидаемый результат НА (не после!) N-ом шаге. Он индивидуален, т.к. игроком учитывается предыстория процесса. Попытаемся свести ожидаемый результат НА (N+1)-ом шаге - S[N+1] к суперпозиции нескольких результатов, получаемых на N-ом шаге. Фактически, проверяем возможность построения рекуррентной формулы. Для этого D{N+1} - дерево (N+1)-го порядка представим в виде ДВУХ поддеревьев N-го порядка - Dp{N} и Dq{N}, хронологически расположенных ПОСЛЕ первого шага в D{N+1}, т.е. ПОСЛЕ двух возможных исходов в первой партии, соответственно: выигрыша (с вероятностью P) и проигрыша (с вероятностью Q). Последнее, что необходимо учесть - это то, что после проигрыша игрок удваивает ставку! Таким образом, получаем рекуррентное соотношение: 
  S[N+1] = P*S[N]+Q*2*S[N].
Принимая во внимание, что P + Q = 1, преобразуем его:
  S[N+1] = (P+2*Q)*S[N] = (1+Q)*S[N].
Учитывая, что S[1] = P - Q, (очевидный результат после первого шага), находим средний результат игры НА N-ом шаге:
  S[N] = (P - Q)*(1 + Q)**(N-1),
  где "**" означает возведение в степень.
Далее определяем (суммированием геометрической прогрессии!) ожидаемый результат в CЕРИИ из N игр - W[N]: 
  W[N] = [(P - Q)/Q]*[(1 + Q)**N - 1]
и матожидание в ОДНОЙ партии ПОСЛЕ N-го шага:
  МО[N] = [(P - Q)/Q]*[(1 + Q)**N - 1]/N.
Если игрок не удваивал ставку, а увеличивал по формуле
  New = Old*(1 + eps), где eps>0,
то выражение для МО преобразуется к виду
  МО[N] = [(P - Q)/(eps*Q)]*[(1 + eps*Q)**N - 1]/N.

Отсюда видно (показательная функция растет быстрее, чем линейная), что при P не равном Q результат стремится к бесконечности: воистину - либо пан, либо пропал!... Знак МО определяется сомножителем (P-Q); например, в случае американской рулетки (P=18/37; Q=19/37) он отрицателен. А вот при игре в "орлянку" - МО остается по-прежнему нулевым, как и плоским ставкам!

Интерпретации полученного результата при P < Q.
1) Командные игроки, играющие "по Мартингейлу", НЕ ИМЕЮТ практических шансов одновременно "спрыгнуть" без существенных потерь общего банка! Поэтому команда ОБРЕЧЕНА НА ПРОИГРЫШ при длительной игре.
2) При внезапном прекращении игры (по различным причинам) игрок 
в среднем окажется в проигрыше.
3) Ожидаемый результат "по Мартингейлу" ГОРАЗДО ХУЖЕ, чем при игре по плоским ставкам - (P - Q). Имеем
  [(P - Q)/Q]*[(1 + Q)**N - 1]/N >?< (P - Q);
упрощаем:
  [(1 + Q)**N - 1] >?< N*Q.
Очевидно, что при N=1 будет равенство матожиданий ("Мартингейл" еще не включился!), а при N>1 - МО для прогрессивной системы ставок превосходит альтернативное по абсолютной величине, что при их отрицательном знаке означает
  MOмарт < МОплос при N>1.
4) Исключительно интересен (для меня во всяком случае!) вопрос о
структуре результатов игры, в частности - вероятность оказаться 
"в минусе". Рассмотри качественные оценки, которые, впрочем, подтверждаются конкретными расчетами. - Главное положение: "за всех" плОтят откровенные неудачники, у которых на финише "состоялись" затяжные Q-серии. 
Длина серии K(N) находится из следующих соображений: удвоение ставок дает отрицательный вклад в индивидуальный результат величиной 2**K, а предшествующая игра в (N-K) начальных партиях его компенсирует. Предполагая, что количество выигрышей и проигрышей было примерно одинаковым, получаем значение результат на старте - (N-K)/2. Тогда имеем
  (N-K)/2 = K**2.
Отсюда (с точностью до малых высокого порядка):
  K(N) = log2(N/2) - логарифм по основанию два от N.
Доля проигрышей (Q-серий) - G(N) от общего числа исходов составляет Q**K, что при найденном K и значении Q близком к 1/2 дает искомую оценку:
  G(N) = 2/N.
"Луч света в темном царстве!" - по сравнению с игрой по плоским ставкам, когда доля проигравших (Q) составляет половину участников. Т.е. при "Мартингейле" игрок ЧАЩЕ находится в плюсе, чем в минусе. Но уж если в минусе, ТО в таком глубоком, что... 
Дополняя пункт 2), отметим: "При длительной игре индивидуального игрока его текущее "материальное состояние" преимущественно положительное. Т.е. при внезапном прекращении игры он, скорей, окажется  в выигрыше, чем в проигрыше. Это - ПО КОЛИЧЕСТВУ результатов. А по усредненному ЗНАЧЕНИЮ результатов - увы! имеем то, что имеем: найденное ранее МО.

Признателен всем, кто дочитал до конца. Вдвойне – тем, кто поправит меня или дополнит.  ;=)
   PV